Fundamentos e Leis da Álgebra da Lógica

Matemático irlandês de meados do século XIX Jorge Bull desenvolveu a álgebra da lógica ("Estudo das leis do pensamento"). Portanto, a álgebra da lógica também é chamada álgebra booleana.

Ao dar designações de letras, expressar as operações de transformações lógicas em símbolos de ação e usar as regras e axiomas estabelecidos para essas ações, a álgebra da lógica permite que o processo de raciocínio na resolução de um problema dado em termos de lógica de declaração seja totalmente descrito em algoritmos , ou seja, ter um programa escrito matematicamente resolvendo esse problema.

Para denotar a verdade ou falsidade das afirmações (isto é, introduzir valores para avaliar as afirmações), a álgebra da lógica usa um sistema binário, conveniente neste caso. Se a afirmação for verdadeira, assume o valor 1, se for falsa, assume o valor 0. Ao contrário dos números binários, 1s e 0s lógicos não expressam uma quantidade, mas um estado.

Assim, em circuitos elétricos descritos pela álgebra booleana, onde 1 é a presença de tensão e 0 é sua ausência, o fornecimento de tensões de várias fontes a um nó do circuito (ou seja, a chegada de várias unidades lógicas dele) é também aparece como uma unidade lógica que indica não a tensão total no nó, mas apenas sua presença.

Ao descrever os sinais de entrada e saída dos circuitos lógicos, são usadas variáveis ​​​​que assumem os valores de apenas 0 ou 1 lógico. A dependência dos sinais de saída na entrada é determinada operação lógica (função)… Vamos denotar as variáveis ​​de entrada por X1 e X2, e a saída obtida por uma operação lógica sobre elas por y.

Pense bem três operações lógicas elementares básicas, com a ajuda dos quais os cada vez mais complexos podem ser descritos.

1. Operação OU — adição lógica:

Dados todos os valores possíveis das variáveis, pode-se definir a operação OU como a suficiência de pelo menos uma unidade na entrada para produzir uma na saída. O nome da operação é explicado pelo significado semântico da união OR na frase: «Se OR é uma entrada OU a segunda é uma, então a saída é uma.»

2. Operação AND — multiplicação lógica:

A partir da consideração do conjunto completo de valores das variáveis, a operação AND é definida como a necessidade de casar todos os nas entradas para obter um na saída: “Se AND for uma entrada e a segunda for uns, então a saída é uma. «

3. Operação NOT — negação ou inversão lógica. É indicado por uma barra acima da variável.

Quando revertido, o valor da variável é invertido.

Leis básicas da álgebra lógica:

1. A Lei do Conjunto Zero: o produto de qualquer número de variáveis ​​desaparece se qualquer uma das variáveis ​​for zero, independentemente dos valores de outras variáveis:

2. A lei do conjunto universal — a soma de qualquer número de variáveis ​​torna-se um se pelo menos uma das variáveis ​​tiver o valor um, independentemente das outras variáveis:

3. A Lei da Repetição — variáveis ​​repetidas na expressão podem ser omitidas (ou seja, não há exponenciação e multiplicação por um coeficiente numérico na álgebra booleana):

4. A lei da dupla inversão — a inversão realizada duas vezes é uma operação vazia:

5. Lei da complementaridade — o produto de cada variável e seu inverso é zero:

6. A soma de cada variável e seu recíproco é um:

7. Leis de proteção — o resultado das operações de multiplicação e adição não depende da ordem em que as variáveis ​​seguem:

8. Leis Combinadas — durante as operações de multiplicação e adição, as variáveis ​​podem ser agrupadas em qualquer ordem:

9. Leis de Distribuição — é permitido colocar o coeficiente total fora dos colchetes:

10. Leis de absorção — indicar formas de simplificar expressões envolvendo uma variável em todos os fatores e termos:

11. Leis de De Morgan — a inversão do produto é a soma das inversões das variáveis:

a inversão da soma é o produto das inversões das variáveis: