Um método simbólico para calcular circuitos AC

Um método simbólico de operações com quantidades vetoriais é baseado em uma ideia muito simples: cada vetor é decomposto em dois componentes: um horizontal, passando pela abscissa, e o segundo, vertical, passando pela ordenada. Nesse caso, todas as componentes horizontais seguem uma linha reta e podem ser somadas por adição algébrica simples, e as componentes verticais são somadas da mesma forma.

Esta abordagem geralmente resulta em dois componentes resultantes, um horizontal e um vertical, que são sempre adjacentes um ao outro no mesmo ângulo de 90°.

Esses componentes podem ser usados ​​para encontrar o resultado, ou seja, para adição geométrica. Os componentes em ângulo reto representam os catetos de um triângulo retângulo e sua soma geométrica representa a hipotenusa.

Você também pode dizer que a soma geométrica é numericamente igual à diagonal de um paralelogramo construído nos componentes, bem como em seus lados... Se o componente horizontal é denotado por AG e o componente vertical por AB, então a soma geométrica ( 1)

Encontrar a soma geométrica de triângulos retângulos é muito mais fácil do que triângulos oblíquos. É fácil ver que (2)

torna-se (1) se o ângulo entre os componentes for de 90°. Como cos 90 = 0, o último termo na expressão radical (2) desaparece, resultando em uma grande simplificação da expressão. Observe que uma das três palavras deve ser adicionada antes da palavra "soma": "aritmética", "algébrica", "geométrica".

Figo. 1.

A palavra "quantia" sem especificar o que leva à incerteza e, em alguns casos, a erros grosseiros.

Lembre-se de que o vetor resultante é igual à soma aritmética dos vetores no caso em que todos os vetores seguem uma linha reta (ou paralelos entre si) na mesma direção. Além disso, todos os vetores têm um sinal de mais (Fig. 1, a).

Se os vetores seguem uma linha reta, mas apontam em direções opostas, então seu resultado é igual à soma algébrica dos vetores, caso em que alguns termos têm um sinal de mais e outros têm um sinal de menos.

Por exemplo, no diagrama da fig. 1, b U6 = U4 — U5. Podemos dizer também que a soma aritmética é utilizada nos casos em que o ângulo entre os vetores é zero, algébrica quando os ângulos são 0 e 180°. Em todos os outros casos, a adição é realizada vetorialmente, ou seja, a soma geométrica é determinada (Fig. 1, c).

Exemplo... Determine os parâmetros da onda senoidal equivalente para o circuito Fig. 2, mas simbólico.

Responder. Vamos desenhar vetores Um1 Um2 e decompô-los em componentes. Pode ser visto no desenho que cada componente horizontal é o valor vetorial multiplicado pelo cosseno do ângulo de fase, e a vertical é o valor vetorial multiplicado pelo seno do ângulo de fase. Então

Figo. 2.

Obviamente, os componentes horizontais e verticais totais são iguais às somas algébricas dos componentes correspondentes. Então

Os componentes resultantes são mostrados na Fig. 2, b. Determine o valor de Um para isso, calcule a soma geométrica dos dois componentes:

Determine o ângulo de fase equivalente ψeq. Figo. 2, b, pode-se ver que a razão entre a componente vertical e a horizontal é a tangente do ângulo de fase equivalente.

onde

A sinusóide assim obtida tem uma amplitude de 22,4 V, uma fase inicial de 33,5° com o mesmo período das componentes. Observe que somente ondas senoidais de mesma frequência podem ser adicionadas, pois ao adicionar curvas senoidais de frequências diferentes a curva resultante deixa de ser senoidal e todos os conceitos aplicáveis ​​apenas a sinais harmônicos tornam-se inválidos neste caso.

Vamos refazer mais uma vez toda a cadeia de transformações que devem ser feitas com as descrições matemáticas das formas de onda harmônicas ao realizar vários cálculos.

Primeiro, as funções temporais são substituídas por imagens vetoriais, depois cada vetor é decomposto em dois componentes mutuamente perpendiculares, depois os componentes horizontal e vertical são calculados separadamente e, finalmente, os valores do vetor resultante e sua fase inicial são determinados.

Este método de cálculo elimina a necessidade de adicionar graficamente (e em alguns casos realizar operações mais complexas, por exemplo, multiplicar, dividir, extrair raízes, etc.) curvas senoidais e recorrer a cálculos usando as fórmulas de triângulos oblíquos.

No entanto, é bastante complicado calcular os componentes horizontal e vertical da operação separadamente.Em tais cálculos, é muito conveniente ter um aparato matemático com o qual você possa calcular os dois componentes ao mesmo tempo.

Já no final do século passado, foi desenvolvido um método que permite cálculos simultâneos de números plotados em eixos mutuamente perpendiculares. Os números no eixo horizontal foram chamados de reais, e os números no eixo vertical foram chamados de imaginários. Ao calcular esses números, um fator de ± 1 é adicionado aos números reais e ± j aos números imaginários (leia-se "xi"). Os números formados por partes reais e imaginárias são chamados complexo, e o método de cálculo realizado com a ajuda deles é simbólico.

Expliquemos o termo «simbólico». As funções a serem computadas (harmônicos neste caso) são originais, e aquelas expressões que substituem os originais são imagens ou símbolos.

Ao usar o método simbólico, todos os cálculos são realizados não nos próprios originais, mas em seus símbolos (imagens), que no nosso caso representam os números complexos correspondentes, pois é muito mais fácil realizar operações nas imagens do que nos próprios originais.

Após a conclusão de todas as operações de imagem, o original correspondente à imagem resultante é gravado na imagem resultante. A maioria dos cálculos em circuitos elétricos é feita usando o método simbólico.