Por que números complexos são usados ​​para cálculos em circuitos CA

Como você sabe, os números complexos são usados ​​para resolver alguns problemas típicos da engenharia elétrica. Mas para que servem e por que é feito dessa forma? É o que tentaremos entender ao longo deste artigo. O fato é que o método complexo ou o método de amplitudes complexas é conveniente para calcular circuitos CA complexos. E para começar, vamos relembrar alguns fundamentos da matemática:

Como você pode ver, o número complexo z inclui a parte imaginária e a parte real, que diferem uma da outra e são indicadas de forma diferente no texto. O próprio número complexo z pode ser escrito na forma algébrica, trigonométrica ou exponencial:

Contexto histórico

Acredita-se que a ideia dos números imaginários tenha começado em 1545, quando o matemático, engenheiro, filósofo, médico e astrólogo italiano Girolamo Cardano publicou este método de resolução de equações em seu tratado "A Grande Arte", onde, segundo entre outros , ele admitiu que Niccolò havia lhe dado a ideia a Tartaglia (um matemático italiano) 6 anos antes da publicação deste trabalho. Em seu trabalho, Kradano resolve equações da forma:

No processo de resolução destas equações, o cientista foi forçado a admitir a existência de algum número «irreal», cujo quadrado será igual a menos um «-1», ou seja, como se houvesse uma raiz quadrada de um número negativo, e se agora for elevado ao quadrado, será o número negativo correspondente sob a raiz. Cardano declarou a regra da multiplicação, segundo a qual:

Durante três séculos, a comunidade matemática se acostumou com a nova abordagem proposta por Cardano. Os números imaginários estão gradualmente criando raízes, mas os matemáticos relutam em aceitar. Não foi até a publicação dos trabalhos de Gauss sobre álgebra, onde ele provou o teorema fundamental da álgebra, que os números complexos foram finalmente totalmente aceitos, o século XIX estava próximo.

Os números imaginários tornaram-se um verdadeiro salva-vidas para os matemáticos porque os problemas mais complexos tornaram-se muito mais fáceis de resolver ao aceitar a existência de números imaginários.

Então logo veio para a engenharia elétrica. Às vezes, os circuitos CA eram muito complexos e muitas integrais precisavam ser calculadas para calculá-los, o que geralmente era muito inconveniente.

Finalmente, em 1893, o brilhante engenheiro elétrico Carl August Steinmetz falou em Chicago no Congresso Eletrotécnico Internacional com um relatório "Números complexos e sua aplicação na engenharia elétrica", que realmente marcou o início da aplicação prática por engenheiros do método complexo de cálculo de circuitos elétricos para corrente alternada.

Sabemos disso no curso de física corrente alternada — esta é uma corrente que muda ao longo do tempo em magnitude e direção.

Na tecnologia, existem diferentes formas de corrente alternada, mas a mais comum hoje é a corrente senoidal alternada, que é usada em todos os lugares, com a ajuda da qual a eletricidade é transmitida, na forma de corrente alternada, que é gerada, convertida por transformadores e é consumido pelas cargas. Uma corrente senoidal muda periodicamente de acordo com uma lei senoidal (harmônica).

Os valores efetivos da corrente e tensão são menores que os valores de amplitude da raiz de duas vezes:

No método complexo, os valores efetivos de correntes e tensões são escritos da seguinte forma:

Observe que na engenharia elétrica, a unidade imaginária é denotada pela letra «j», pois a letra «i» já é usada aqui para denotar corrente.

De lei de ohm determina o valor complexo da resistência:

A adição e subtração de valores complexos é feita na forma algébrica e a multiplicação e divisão na forma exponencial.

Vamos considerar o método de amplitudes complexas usando o exemplo de um circuito específico com determinados valores dos parâmetros principais.

Um exemplo de resolução de um problema usando números complexos

Dado:

• tensão da bobina 50 V,

• resistência do resistor 25 Ohm,

• indutância da bobina 500 mH,

• a capacidade elétrica do capacitor é de 30 microfarads,

• resistência da bobina 10 Ohm,

• frequência da rede 50 Hz.

Encontre: leituras de amperímetro e voltímetro, bem como wattímetro.

Responder:

Para começar, escrevemos a resistência complexa de elementos conectados em série, que consiste em partes reais e imaginárias, depois encontramos a resistência complexa de um elemento indutivo ativo.

Lembrando! Para obter a forma exponencial, encontre o módulo z igual à raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária e phi igual ao arco tangente do quociente da parte imaginária dividido pela parte real.

Em seguida, encontramos a corrente e, consequentemente, as leituras do amperímetro:

Assim, o amperímetro mostra uma corrente de 0,317 A - essa é a corrente em todo o circuito em série.

Agora vamos encontrar a resistência capacitiva do capacitor, então vamos determinar sua resistência complexa:

Em seguida, calculamos a impedância complexa total deste circuito:

Agora encontramos a tensão efetiva aplicada ao circuito:

O voltímetro mostrará uma tensão efetiva de 19,5 volts.

Finalmente, encontramos a potência que o wattímetro exibirá, levando em consideração a diferença de fase entre corrente e tensão

O wattímetro mostrará 3,51 watts.

Agora você entende a importância dos números complexos na engenharia elétrica. Eles são usados ​​para o cálculo conveniente de circuitos elétricos. Muitos dispositivos de medição eletrônicos funcionam na mesma base.