A lei de Biot-Savart e o teorema da circulação do vetor de indução magnética

Em 1820, os cientistas franceses Jean-Baptiste Biot e Félix Savard, no decorrer de experimentos conjuntos para estudar os campos magnéticos de correntes contínuas, estabeleceram inequivocamente que a indução magnética de uma corrente contínua fluindo através de um condutor pode ser considerada o resultado da ação geral de todas as seções deste fio com corrente. Isso significa que o campo magnético obedece ao princípio da superposição (o princípio da superposição de campos).

O campo magnético criado por um grupo de fios DC tem o seguinte indução magnéticaque seu valor é definido como a soma vetorial das induções magnéticas criadas por cada condutor separadamente. Ou seja, a indução B do condutor de corrente contínua pode ser representada de forma justa pela soma vetorial das induções elementares dB pertencentes às seções elementares dl do condutor de corrente contínua considerado I.

É praticamente irreal isolar uma seção elementar de um condutor de corrente contínua, porque DC sempre fechado.Mas você pode medir a indução magnética total criada por um fio, ou seja, gerada por todas as partes elementares de um determinado fio.

Assim, a lei de Biot-Sovar permite encontrar o valor da indução magnética B da seção (comprimento conhecido dl) do condutor, com uma dada corrente contínua I, a uma certa distância r desta seção do condutor e em um certa direção de observação da seção selecionada (definida pelo seno do ângulo entre a direção da corrente e a direção da seção do condutor até o ponto examinado no espaço próximo ao condutor):

Foi estabelecido experimentalmente que a direção do vetor de indução magnética é facilmente determinada pelo parafuso à direita ou regra do gimbal: se a direção do movimento de translação do gimbal durante sua rotação coincidir com a direção da corrente contínua I no fio, então sentido de rotação do manípulo do gimbal determina a direção do vetor de indução magnética B produzido por uma dada corrente.

O campo magnético de um fio condutor de corrente reta, bem como uma ilustração da aplicação da lei de Bio-Savart a ele, são mostrados na figura:

Portanto, se integrarmos, ou seja, adicionarmos a contribuição de cada uma das pequenas seções de um condutor de corrente constante ao campo magnético total, obteremos uma fórmula para encontrar a indução magnética de um condutor de corrente em um determinado raio R dele .

Da mesma forma, usando a lei de Bio-Savard, você pode calcular as induções magnéticas de correntes contínuas de diferentes configurações e em determinados pontos do espaço, por exemplo, a indução magnética no centro de um circuito circular com uma corrente é encontrada pelo seguinte fórmula:

A direção do vetor de indução magnética é facilmente encontrada de acordo com a regra do gimbal, só que agora o gimbal deve ser girado na direção da corrente fechada, e o movimento para frente do gimbal mostrará a direção do vetor de indução magnética.

Muitas vezes os cálculos relativos ao campo magnético podem ser simplificados se levarmos em conta a simetria da configuração das correntes dada pelo campo gerador. Aqui você pode usar o teorema da circulação do vetor de indução magnética (como o teorema de Gauss em eletrostática). O que é «circulação do vetor de indução magnética»?

Vamos escolher no espaço um certo loop fechado de forma arbitrária e indicar condicionalmente a direção positiva de sua viagem.Para cada ponto desse loop, você pode encontrar a projeção do vetor de indução magnética B na tangente ao loop naquele ponto. Então a soma dos produtos dessas quantidades pelos comprimentos elementares de todas as seções do contorno é a circulação do vetor de indução magnética B ao longo deste contorno:

Praticamente todas as correntes que criam um campo magnético geral aqui podem penetrar no circuito em questão ou algumas delas podem estar fora dele. De acordo com o teorema da circulação: a circulação do vetor de indução magnética B de correntes contínuas em um loop fechado é numericamente igual ao produto da constante magnética mu0 pela soma de todas as correntes diretas que penetram no loop. Este teorema foi formulado por André Marie Ampere em 1826:

Considere a figura acima. Aqui, as correntes I1 e I2 penetram no circuito, mas são direcionadas em direções diferentes, o que significa que possuem sinais condicionalmente diferentes.O sinal positivo terá uma corrente cujo sentido de indução magnética (conforme regra básica) coincide com o sentido do bypass do circuito selecionado. Para esta situação, o teorema da circulação assume a forma:

Em geral, o teorema para a circulação do vetor de indução magnética B decorre do princípio da superposição do campo magnético e da lei de Biot-Savard.

Por exemplo, derivamos a fórmula para a indução magnética de um condutor de corrente contínua. Escolhamos um contorno em forma de círculo, pelo centro do qual passa este fio, e o fio é perpendicular ao plano do contorno.

Assim, o centro do círculo está diretamente no centro do condutor, isto é, no condutor. Como a imagem é simétrica, o vetor B é direcionado tangencialmente ao círculo e sua projeção na tangente é, portanto, a mesma em todos os lugares e é igual ao comprimento do vetor B. O teorema da circulação é escrito da seguinte forma:

Portanto, segue a fórmula para a indução magnética de um condutor reto com corrente contínua (esta fórmula já foi fornecida acima). Da mesma forma, usando o teorema da circulação, pode-se encontrar facilmente as induções magnéticas de configurações DC simétricas onde a imagem das linhas de campo é fácil de visualizar.

Um dos exemplos práticos importantes da aplicação do teorema da circulação é encontrar o campo magnético dentro de um indutor toroidal.

Suponha que haja uma bobina toroidal enrolada rodada a rodada em uma moldura de papelão em forma de rosquinha com o número de voltas N. Nessa configuração, as linhas de indução magnética são encerradas dentro da rosquinha e são círculos concêntricos (dentro um do outro) em forma .

Se você olhar na direção do vetor de indução magnética ao longo do eixo interno do donut, verá que a corrente é direcionada para todos os lugares no sentido horário (de acordo com a regra do gimbal). Considere uma das linhas (mostrada em vermelho) de indução magnética dentro da bobina e escolha-a como uma espira circular de raio r. Então o teorema da circulação para um dado circuito é escrito da seguinte forma:

E a indução magnética do campo dentro da bobina será igual a:

Para uma bobina toroidal fina, onde o campo magnético é quase uniforme em toda a sua seção transversal, é possível escrever a expressão para a indução magnética como se fosse para um solenóide infinitamente longo, levando em consideração o número de voltas por unidade de comprimento - n:

Considere agora um solenoide infinitamente longo onde o campo magnético está inteiramente dentro dele. Aplicamos o teorema da circulação ao contorno retangular selecionado.

Aqui o vetor de indução magnética dará uma projeção diferente de zero apenas no lado 2 (seu comprimento é igual a L). Usando o parâmetro n — «o número de voltas por unidade de comprimento», obtemos tal forma do teorema da circulação, que se reduz à mesma forma de uma bobina toroidal multitonCoy: