Fluxo e circulação de um campo vetorial

NBaseado nos materiais das palestras de Richard Feynman

Ao descrever as leis da eletricidade em termos de campos vetoriais, nos deparamos com duas características matematicamente importantes do campo vetorial: fluxo e circulação. Seria bom entender o que são esses conceitos matemáticos e qual é o seu significado prático.

A segunda parte da pergunta é fácil de responder de imediato porque os conceitos de fluxo e circulação estão no cerne da equações de Maxwell, sobre a qual toda a eletrodinâmica moderna realmente se baseia.

Assim, por exemplo, a lei da indução eletromagnética pode ser formulada da seguinte forma: a circulação do campo elétrico E ao longo de um circuito fechado C é igual à taxa de variação do fluxo do campo magnético B através da superfície S limitada por este circuito B.

A seguir, descreveremos de maneira bastante simples, usando exemplos claros de fluidos, como as características do campo são determinadas matematicamente, a partir das quais essas características do campo são retiradas e obtidas.

Fluxo de campo vetorial

Para começar, vamos desenhar uma certa superfície fechada de forma completamente arbitrária ao redor da área em estudo. Depois de representar essa superfície, perguntamos se o objeto de estudo, que chamamos de campo, flui por essa superfície fechada. Para entender do que se trata, considere um exemplo simples de líquido.

Digamos que estamos investigando o campo de velocidade de um determinado fluido. Para tal exemplo, faz sentido perguntar: mais fluido passa por essa superfície por unidade de tempo do que flui para o volume limitado por essa superfície? Em outras palavras, a taxa de escoamento é sempre direcionada principalmente de dentro para fora?

Pela expressão "fluxo de campo vetorial" (e para nosso exemplo a expressão "fluxo de velocidade do fluido" será mais precisa), concordaremos em nomear a quantidade total de fluido imaginário que flui através da superfície do volume considerado limitado por um dado superfície fechada (para a taxa de fluxo de fluido, quanto fluido segue do volume por unidade de tempo).

Como resultado, o fluxo através do elemento de superfície será igual ao produto da área do elemento de superfície pela componente perpendicular da velocidade. Então o fluxo total (total) em toda a superfície será igual ao produto da componente normal média da velocidade, que contaremos de dentro para fora, pela área total da superfície.

Agora, de volta ao campo elétrico. O campo elétrico, é claro, não pode ser considerado a velocidade do fluxo de algum líquido, mas temos o direito de introduzir um conceito matemático de fluxo, semelhante ao que descrevemos acima como o fluxo da velocidade do líquido.

Somente no caso de um campo elétrico, seu fluxo pode ser determinado pela componente normal média da intensidade do campo elétrico E. Além disso, o fluxo do campo elétrico pode ser determinado não necessariamente por meio de uma superfície fechada, mas por meio de qualquer superfície limitada de área diferente de zero S .

Circulação de um campo vetorial

É do conhecimento de todos que, para maior clareza, os campos podem ser representados na forma das chamadas linhas de força, em cada ponto em que a direção da tangente coincide com a direção da intensidade do campo.

Voltando à analogia do fluido e imaginando o campo de velocidade do fluido, façamos uma pergunta: o fluido está circulando? Ou seja, ele se move principalmente na direção de algum loop fechado imaginário?

Para maior clareza, imagine que o líquido em um recipiente grande está de alguma forma se movendo (Fig. A) e de repente congelamos quase todo o seu volume, mas conseguimos deixar o volume descongelado na forma de um tubo uniformemente fechado no qual não há fricção do líquido nas paredes (fig. b).

Fora desse tubo, o líquido se transformou em gelo e, portanto, não pode mais se mover, mas dentro do tubo o líquido pode continuar seu movimento, desde que haja um momento predominante que o impulsione, por exemplo, no sentido horário (Fig. .°C). Então o produto da velocidade do fluido no tubo e o comprimento do tubo será chamado de circulação da velocidade do fluido.

Da mesma forma, podemos definir uma circulação para um campo vetorial, embora novamente não se possa dizer que o campo seja a velocidade de qualquer coisa, mas podemos definir a característica matemática da "circulação" ao longo de um contorno.

Assim, a circulação de um campo vetorial ao longo de um loop fechado imaginário pode ser definida como o produto da componente tangencial média do vetor na direção da passagem do loop — pelo comprimento do loop.