Leis da álgebra de circuitos de contato, álgebra booleana

Um registro analítico da estrutura e das condições de operação dos circuitos de relé permite realizar transformações analíticas equivalentes de circuitos, ou seja, transformando fórmulas estruturais, encontrando esquemas semelhantes em sua operação. Os métodos de conversão são especialmente desenvolvidos para fórmulas estruturais que expressam circuitos de contato.

Para circuitos de contato, o aparato matemático da álgebra da lógica é usado, mais precisamente, uma de suas variedades mais simples, chamada cálculo de proposições ou álgebra booleana (em homenagem ao matemático do século passado J. Boole).

O cálculo proposicional foi originalmente desenvolvido para estudar a dependência (a verdade ou falsidade de julgamentos complexos da verdade ou falsidade das proposições simples que os compõem. Em essência, o cálculo proposicional é uma álgebra de dois números, ou seja, uma álgebra em qual cada argumento individual e cada função pode ter um de dois valores.

Isso determina a possibilidade de usar a álgebra booleana para transformar circuitos de contato, pois cada um dos argumentos (contatos) incluídos na fórmula estrutural pode assumir apenas dois valores, ou seja, pode ser fechado ou aberto, e toda a função representada pelo estrutural a fórmula pode expressar um loop fechado ou aberto.

A álgebra booleana introduz:

1) objetos que, como na álgebra comum, têm nomes: variáveis ​​independentes e funções — porém, ao contrário da álgebra comum, na álgebra booleana ambas podem assumir apenas dois valores: 0 e 1;

2) operações lógicas básicas:

• adição lógica (ou disjunção, OR lógico, denotada pelo sinal ?), que é definida da seguinte forma: o resultado da operação é 0 se e somente se todos os argumentos da operação forem iguais a 0, caso contrário, o resultado é 1;

• multiplicação lógica (ou concatenação, AND lógico, denotada por ?, ou não especificada) que é definida da seguinte forma: o resultado da operação é 1 se e somente se todos os argumentos da operação forem iguais a 1, caso contrário, o resultado é 0;

• negação (ou vice-versa, NÃO lógico, indicado por uma barra acima do argumento), que se define da seguinte forma: o resultado da operação tem o valor oposto ao do argumento;

3) axiomas (leis da álgebra booleana), que definem as regras de transformação de expressões lógicas.

Observe que cada uma das operações lógicas pode ser realizada tanto em variáveis ​​quanto em funções, que serão chamadas de funções booleanas abaixo... Lembre-se de que, por analogia com a álgebra comum, na álgebra booleana, a operação de multiplicação lógica tem precedência sobre a lógica operação de adição.

As expressões booleanas são formadas pela combinação de operações lógicas sobre uma série de objetos (variáveis ​​ou funções), chamados de argumentos da operação.

A transformação de expressões lógicas usando as leis da álgebra booleana geralmente é realizada com o objetivo de minimizar, pois quanto mais simples a expressão, menor a complexidade da cadeia lógica, que é a implementação técnica da expressão lógica.

As leis da álgebra booleana são apresentadas como um conjunto de axiomas e consequências. Estes podem ser verificados simplesmente substituindo diferentes valores das variáveis.

O análogo técnico de qualquer expressão lógica para uma função booleana é um diagrama lógico... Nesse caso, as variáveis ​​​​das quais depende uma função booleana são conectadas às entradas externas deste circuito, o valor de uma função booleana é formado no saída externa do circuito, e cada operação lógica em uma expressão lógica é implementada por um elemento lógico.

Assim, para cada conjunto de sinais de entrada na saída do circuito lógico, é gerado um sinal que corresponde ao valor de uma função booleana desse conjunto de variáveis ​​(mais adiante, usaremos a seguinte convenção: 0 — nível de sinal baixo , 1 — alto nível de sinal).

Ao construir circuitos lógicos, assumiremos que as variáveis ​​são alimentadas na entrada em um código de paráfase (ou seja, valores diretos e inversos das variáveis ​​estão disponíveis).

A Tabela 1 mostra as designações gráficas convencionais de alguns elementos lógicos de acordo com GOST 2.743-91, bem como suas contrapartes estrangeiras.

Além dos elementos que realizam as três operações da álgebra booleana (AND, OR, NOT), na tab. 1 mostra os elementos que realizam operações derivadas do principal:

— AND -NOT — negação da multiplicação lógica, também chamada de movimento de Schaefer (indicado por |)

— OU -NÃO — negação do complemento lógico, também chamada de seta de Peirce (indicada por ?)

Ao conectar portas lógicas em série, você pode implementar qualquer função booleana.

As fórmulas estruturais que expressam circuitos de relé em geral, ou seja, contendo símbolos de águias reativas, não podem ser consideradas como funções de dois valores que expressam apenas circuito fechado ou aberto. Portanto, ao trabalhar com tais funções, surgem várias novas dependências que vão além dos limites da álgebra booleana.

Na álgebra booleana, existem quatro pares de leis básicas: dois deslocamentos, dois combinatórios, dois distributivos e duas inversões legais. Essas leis estabelecem a equivalência de diferentes expressões, ou seja, consideram expressões que podem ser substituídas entre si como a substituição de identidades na álgebra ordinária. Como símbolo de equivalência, tomamos o símbolo que é igual ao símbolo de igualdade na álgebra comum (=).

A validade das leis da álgebra booleana para circuitos de contato será estabelecida considerando circuitos correspondentes aos lados esquerdo e direito de expressões equivalentes.

Leis de viagens

Para somar: x + y = y + x

Os esquemas correspondentes a essas expressões são mostrados na Fig. 1, a.

Os circuitos esquerdo e direito são circuitos normalmente abertos, cada um fecha quando um dos elementos (X ou Y) é acionado, ou seja, esses circuitos são equivalentes. Para a multiplicação: x ·y = y ·NS.

Os esquemas correspondentes a essas expressões são mostrados na Fig. 1b, sua equivalência também é óbvia.

Arroz. 1

Leis da Combinação

Para adição: (x + y) + z = x + (y + z)

Para multiplicação: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Os pares de circuitos equivalentes correspondentes a essas expressões são mostrados na Fig. 2, a, b

Arroz. 2

Leis de distribuição

Multiplicação versus adição: (x + y) +z = x + (y + z)

Adição x Multiplicação. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Os esquemas correspondentes a essas expressões são mostrados na Fig. 3, a, b.

Arroz. 3.

A equivalência desses esquemas pode ser facilmente verificada considerando diferentes combinações de atuação dos contatos.

Leis da inversão

Além disso: NS + c = NS·c

A barra acima do lado esquerdo da expressão é um sinal de negação ou inversão. Este sinal indica que toda a função tem o significado oposto em relação à expressão abaixo do sinal de negação. Não é possível desenhar um diagrama correspondente a toda a função inversa, mas pode-se desenhar um diagrama correspondente à expressão sob o sinal negativo. Assim, a fórmula pode ser ilustrada com os diagramas mostrados na Fig. 4, a.

Arroz. 4.

O diagrama da esquerda corresponde à expressão x + y, e o da direita a NS ·c

Esses dois circuitos são opostos um ao outro em operação, a saber: se o circuito esquerdo com elementos não excitados X, Y é um circuito aberto, o circuito direito é fechado. Se no circuito esquerdo, quando um dos elementos é acionado, o circuito fecha, e no circuito direito, ao contrário, abre.

Visto que, pela definição de sinal negativo, a função x + y é a inversa da função x + y, então é óbvio que x + y = NS·in.

Em relação à multiplicação: NS · c = NS + c

Os esquemas correspondentes mostram-se no figo. 4, b.

Leis translocativas e combinacionais e a lei distributiva da multiplicação com relação à adição (correspondem a leis semelhantes da álgebra ordinária).Portanto, no caso de transformação de fórmulas estruturais na ordem de adição e multiplicação de termos, colocação de termos fora de colchetes e expansão de colchetes, você pode seguir as regras estabelecidas para trabalhar com expressões algébricas comuns. A lei distributiva da adição com relação à multiplicação e as leis da inversão são específicas da álgebra booleana.