Sistemas numéricos

Um sistema numérico é um conjunto de regras para representar números usando diferentes sinais numéricos. Os sistemas numéricos são classificados em dois tipos: não posicionais e posicionais.

Nos sistemas de numeração posicional, o valor de cada dígito não depende da posição que ocupa, ou seja, do lugar que ocupa no conjunto dos dígitos. No sistema de numeração romana, existem apenas sete dígitos: um (I), cinco (V), dez (X), cinquenta (L), cem (C), quinhentos (D), mil (M). Usando esses números (símbolos), os números restantes são escritos por adição e subtração. Por exemplo, IV é a notação do número 4 (V — I), VI é o número 6 (V + I) e assim por diante. O número 666 está escrito no sistema romano da seguinte forma: DCLXVI.

Essa notação é menos conveniente do que a que usamos atualmente. Aqui seis é escrito com um símbolo (VI), seis dezenas com outro (LX), seiscentésimo terceiro (DC). É muito difícil realizar operações aritméticas com números escritos no sistema de numeração romana. Além disso, uma desvantagem comum de sistemas não posicionais é a complexidade de representar números grandes o suficiente para resultar em uma notação extremamente incômoda.

Agora considere o mesmo número 666 no sistema de numeração posicional. Nela, um único sinal 6 significa o número de unidades se estiver na última posição, o número de dezenas se estiver na penúltima posição e o número de centenas se estiver na terceira posição a partir do final. Este princípio de escrever números é chamado de posicional (local). Em tal registro, cada dígito recebe um valor numérico dependendo não apenas de seu estilo, mas também de onde ele se encontra quando o número é escrito.

No sistema numérico posicional, qualquer número representado como A = +a1a2a3 … ann-1an pode ser representado como uma soma

onde n — número finito de dígitos na imagem de um número, ii número i-go digit, d — base do sistema numérico, i — número ordinal da categoria, dm-i — "peso" da categoria i-ro . Dígitos ai devem satisfazer a desigualdade 0 <= a <= (d — 1).

Para notação decimal, d = 10 e ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Como os números que consistem em um e zero podem ser percebidos como números decimais ou binários quando usados ​​juntos, a base do sistema numérico é geralmente indicada, por exemplo (1100)2-binário, (1100)10-decimal.

Em computadores digitais, sistemas diferentes do decimal são amplamente usados: binário, octal e hexadecimal.

Sistema Binário

Para este sistema d = 2 e aqui apenas dois dígitos são permitidos, ou seja, ai = 0 ou 1.

Qualquer número expresso no sistema binário é representado como a soma do produto da potência da base duas vezes o dígito binário do bit dado. Por exemplo, o número 101,01 pode ser escrito assim: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, que corresponde ao número no sistema decimal: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

Na maioria dos computadores digitais modernos, o sistema numérico binário é usado para representar números em uma máquina e realizar operações aritméticas com eles.

O sistema numérico binário, comparado ao decimal, permite simplificar os circuitos e circuitos do dispositivo aritmético e do dispositivo de memória e aumentar a confiabilidade do computador. O dígito de cada bit de um número binário é representado pelos estados «on / off» de elementos como transistores, diodos, que funcionam de forma confiável nos estados «on / off». As desvantagens do sistema binário incluem a necessidade de traduzir de acordo com um programa especial os dados digitais originais para o sistema numérico binário e os resultados da decisão para decimal.

Sistema de numeração octal

Este sistema tem base d == 8. Números são usados ​​para representar números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

O sistema de numeração octal é usado no computador como uma ajuda na preparação de problemas para resolução (no processo de programação), na verificação da operação de uma máquina e na depuração de um programa. Este sistema dá uma representação mais curta do número do que o sistema binário. O sistema numérico octal permite que você simplesmente mude para o sistema binário.

Sistema numérico hexadecimal

Este sistema tem base d = 16. 16 caracteres são usados ​​para representar números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, e o os caracteres A … F representam os números decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15. O número hexadecimal (1D4F) 18 corresponderá ao decimal 7503 porque (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

A notação hexadecimal permite que os números binários sejam escritos de forma mais compacta do que o octal. Ele encontra aplicação em dispositivos de entrada e saída e dispositivos de exibição de ordem numérica de alguns computadores.

Sistema de numeração binário-decimal

A representação de números no sistema binário-decimal é a seguinte. A notação decimal do número é tomada como base e, em seguida, cada um de seus dígitos (de 0 a 9) é escrito na forma de um número binário de quatro dígitos chamado tétrade, ou seja, nenhum sinal é usado para representar cada dígito do sistema decimal, mas quatro.

Por exemplo, o decimal 647,59 corresponderia a BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

O sistema numérico binário-decimal é usado como um sistema numérico intermediário e para codificar números de entrada e saída.

Regras para transferir um sistema numérico para outro

A troca de informações entre dispositivos de computador é realizada principalmente por meio de números representados no sistema de numeração binário. Entretanto, as informações são apresentadas ao usuário em números no sistema decimal, e o endereçamento dos comandos é apresentado no sistema octal. Daí a necessidade de transferir números de um sistema para outro no processo de trabalho com um computador. Para fazer isso, use a seguinte regra geral.

Para converter um número inteiro de qualquer sistema numérico para outro, é necessário dividir sucessivamente esse número pela base do novo sistema até que o quociente não seja menor que o divisor. O número no novo sistema deve ser escrito na forma de restos de divisão, começando pelo último, ou seja, da direita para a esquerda.

Por exemplo, vamos converter o decimal 1987 para binário:

O número decimal 1987 em formato binário é 11111000011, ou seja, (1987)10 = (11111000011)2

Ao mudar de qualquer sistema para decimal, o número é representado como a soma das potências da base com os coeficientes correspondentes e, a seguir, é calculado o valor da soma.

Por exemplo, vamos converter o número octal 123 para decimal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, ou seja (123)8 = (83)10

Para transferir a parte fracionária de um número de qualquer sistema para outro, é necessário realizar a multiplicação sucessiva dessa fração e as partes fracionárias resultantes do produto com base no novo sistema numérico. A parte fracionária de um número no novo sistema é formada na forma de partes inteiras dos produtos resultantes, começando pela primeira. O processo de multiplicação continua até que um número com uma determinada precisão seja calculado.

Por exemplo, vamos converter a fração decimal 0,65625 para o sistema numérico binário:

Como a parte fracionária do quinto produto consiste apenas em zeros, outras multiplicações são desnecessárias. Isso significa que o decimal fornecido é convertido em binário sem erro, ou seja, (0,65625)10 = (0,10101)2.

A conversão de octal e hexadecimal para binário e vice-versa não é difícil. Isso ocorre porque suas bases (d — 8 e d — 16) correspondem a inteiros de dois (23 = 8 e 24 = 16).

Para converter números octais ou hexadecimais em binários, basta substituir cada um de seus números por um número binário de três ou quatro dígitos, respectivamente.

Por exemplo, vamos traduzir o número octal (571)8 e o número hexadecimal (179)16 para o sistema numérico binário.

Em ambos os casos, obtemos o mesmo resultado, ou seja, (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Para converter um número de binário-decimal para decimal, você precisa substituir cada tétrade do número representado em binário-decimal por um dígito representado em decimal.

Por exemplo, vamos escrever o número (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 em notação decimal, ou seja, (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)